The minicourse provides an introduction to a Lie ring method of studying groups, which is based on the so-called associated Lie rings, and aims at illustrating how a Lie theoretic result of E. Zelmanov enables one to treat problems in group theory.

Panorama Geral. Resolução de equações e a introdução dos números complexos. Resolução por radicais e o Teorema Fundamental da Álgebra. A introdução dos quatérnios e as Álgebras Lineares Associativas. Octônios e Álgebras não Associativas. O último Teorema de Fermat. Os Números Algébricos e a definição de ideal. A teoria de grupos;os primeiros passos. A memória de Steinitz e a Teoria de Corpos. A consolidação da disciplina: o livro de Van der Waerden.

We will present the k-theory for fields introduced and developed by John Milnor for the study of quadratic forms and will show its important connections with the graded Witt ring and the graded cohomology ring. We will then introduce other k-theories, which expand Milnor's k-theory by faithfully and functorially encoding the algebraic theory of quadratic forms over fields through other categories of structures.

O objetivo do minicurso é introduzir a dimensão de Gelfand-Kirillov e discutir algumas de suas aplicações. Nós veremos propriedades básicas da dimensão para algébras e módulos, e então discutiremps o caso de algumas filtrações especiais que admitem polinômios de Hilbert-Samuel e suas consequências para a categoria de módulos finitamente gerados. Discutiremos também uma variação do tema, o grau de transcendência de Gelfand-Kirillov. Veremos aplicações em teoria de representações, por meio de módulos holonômicos para a álgebra de Weyl; e em análise, mostrando a solução engenhosa de J. Bernstein para o problema de continuação analítica de I. M. Gelfand.

This mini-course provides an introduction to higher representation theory, from a point of view of Tannaka duality. We start from classical representation theory of groups to build up the Tannaka formalism that allows to translate algebraic structures into categorical ones. Richer monoidal structures on repre- sentation categories, and relations between such, lead to more involved under- lying algebraic structures as well. In order to understand these algebraic and categorical structures, a “2-dimensional” version of representation theory comes into play. From there, we aim to provide a view on some recent developments in the field and remaining challenges. We expect participants to have some basic knowledge in algebra, represen- tation theory and category theory.

The goal of this mini-course is to introduce the basics of commutative algebra and algebraic geometry from scratch, with emphasis on the dictionary between the two languages. The philosophy is that commutative algebra and algebraic geometry are two sides of the same coin, especially once one adopts the language of affine schemes: results in commutative algebra can be illustrated by pictures and, conversely, theorems in algebraic geometry can usually be reduced to ones from commutative algebra. We will assume the knowledge of the definitions of field and ring. Apart from that the course aims to be self-contained: the rest of the basic notions such as ideal, affine scheme, singularity, etc., will be defiend from first principles. Time permitting, we will cover localization, Hilbert’s Nullstellensatz, primary decomposition, dinension theory and some material related to singularities and their resolution.

Seja X uma curva algébrica não singular definida sobre o corpo dos complexos (ℂ). A correspondência clássica entre tais curvas e superfícies de Riemann compactas permite estudar seus grupos de automorfismos em paralelo. No caso g ≥ 2, sabe-se que Aut(X) é finito e, em característica zero, satisfaz a cota de Hurwitz |Aut(X)| ≤ 84(g − 1). Em característica positiva, porém, essa cota deixa de ser válida em geral, e novos fenômenos surgem. O objetivo deste minicurso é apresentar exemplos e resultados sobre automorfismos de curvas e superfícies, com ênfase no papel que desempenham em problemas de classificação. Discutiremos em particular a falha da cota de Hurwitz em característica positiva, classes especiais de curvas com muitos automorfismos e algumas aplicações dessas ideias tanto na geometria algébrica quanto na teoria de superfícies de Riemann.

O teorema de Kronecker–Weber afirma que todo número algébrico cujo grupo de Galois é abeliano pode ser expresso em termos de raízes da unidade. Por exemplo: √5 = e^{2πi/5} − e^{4πi/5} − e^{6πi/5} + e^{8πi/5}. Mais precisamente, toda extensão abeliana do corpo dos racionais está contida em uma extensão ciclotômica. É natural se perguntar se há resultados análogos para outros corpos de números; este é o décimo segundo problema de Hilbert. O objetivo deste mini-curso é apresentar alguns aspectos da teoria clássica de extensões abelianas de corpos quadráticos imaginários (isto é, corpos da forma Q(√−d), onde d é um inteiro positivo não quadrado). Neste caso, em vez da função exponencial, as extensões abelianas são descritas por valores especiais de funções modulares e elípticas. Geometricamente, no lugar dos pontos de ordem finita no círculo unitário, consideramos pontos de ordem finita em uma curva elíptica. Este resultado deriva da chamada teoria da multiplicação complexa, considerada por Hilbert como “a parte mais bela de toda a matemática”. A teoria acima serviu de base para o desenvolvimento da bem estabelecida teoria dos corpos de classe, e continua motivando uma série de desenvolvimentos recentes em teoria dos números. Havendo tempo e interesse, alguns destes desenvolvimentos poderão ser abordados ao final do mini-curso.

Este curso introdutório sobre Álgebras de Banach e C*-Álgebras foi desenvolvido para estudantes de matemática com conhecimentos básicos de análise funcional. O objetivo é fornecer uma introdução acessível a estes tópicos fundamentais da matemática moderna que têm aplicações importantes em diversas áreas, desde a análise matemática até a física teórica.